Gọi đường tròn tâm \(I\left(a;b\right)\Rightarrow d\left(I;d_1\right)=d\left(I;d_2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|3a-4b+1\right|}{5}=\dfrac{\left|4a+3b-7\right|}{5}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3a-4b+1=4a+3b-7\\3a-4b+1=-4a-3b+7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-7b+8\\b=7a-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(-7b+8;b\right)\\I\left(a;7a-6\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}IA^2=\left(-7b+6\right)^2+\left(b-3\right)^2\\IA^2=\left(a-2\right)^2+\left(7a-9\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(IA^2=d^2\left(I;d_1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(-7b+6\right)^2+\left(b-3\right)^2=\left(b-1\right)^2\\\left(a-2\right)^2+\left(7a-9\right)^2=\left(a-1\right)^2\end{matrix}\right.\)

Giờ giải pt bậc 2 là được

Đường thẳng \(\Delta_1\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}=\left(3;4\right)\)

Đường thẳng \(\Delta_2\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2}=\left(4;-3\right)\)

Do \(\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=3.4+4.\left(-3\right)=0\) nên \(\Delta_1\perp\Delta_2\)

Do đó nếu đường thẳng d tạo với  \(\Delta_1,\Delta_2\) một tam giác cân, thì đó là tam giác vuông cân, tại đỉnh là giao điểm của  \(\Delta_1;\Delta_2\)

Bài toán quy về viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;1) và tạo với đường thẳng  \(\Delta_1\) một góc \(\frac{\pi}{4}\).

Giả sử đường thẳng d có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{m}=\left(a;b\right)\) với \(a^2+b^2\ne0\), khi đó d có phương trình dạng :

\(ax+by-a-b=0\)

Do  góc \(\left(d;\Delta_1\right)=\frac{\pi}{4}\) nên

\(\frac{\left|3a+4b\right|}{5\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow7a^2-48ab-7b^2=0\)

                         \(\Leftrightarrow\begin{cases}a=7b\\7a=-b\end{cases}\)

Nếu a=7b, chọn b=1, a=7, ta được đường thẳng d : \(7x+y-8=0\)

Nếu 7a=-b, chọn a=1, b=-7 ta được đường thẳng d : \(x-7y+6=0\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm thuộc phân giác của 2 đường thẳng

\(\Leftrightarrow d\left(M;\Delta_1\right)=d\left(M;\Delta_2\right)\)

a/ \(\frac{\left|2x+4y+7\right|}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{\left|5x+3y+7\right|}{\sqrt{5^2+3^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{17}\left|2x+4y+7\right|=\sqrt{10}\left|5x+3y+7\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{17}x+4\sqrt{17}y+7\sqrt{17}=5\sqrt{10}x+3\sqrt{10}y+7\sqrt{10}\\2\sqrt{17}x+4\sqrt{17}y+7\sqrt{17}=-5\sqrt{10}x-3\sqrt{10}y-7\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(2\sqrt{17}-5\sqrt{10}\right)x+\left(4\sqrt{17}-3\sqrt{10}\right)y+7\sqrt{17}-7\sqrt{10}=0\\\left(2\sqrt{17}+5\sqrt{10}\right)x+\left(4\sqrt{17}+3\sqrt{10}\right)y+7\sqrt{17}+7\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)

Câu b bạn làm tương tự. Số xấu quá nhìn chẳng muốn làm luôn